Résumé - Chapitre 0 : Révision de l'algèbre

Contenu

• Définition d'un groupe
• Définition d'un sous-groupe
• Propriété caractéristique des sous-groupes
• Propriété sur les intersections/unions de sous-groupes
• Définition de l'ordre d'un groupe
• Théorème de Lagrange
• Sous-groupe engendré par un élément
• Définition d'un groupe monogène
• Définition de l'ordre d'un élément
• Définition d'un morphisme de groupes
• Propriétés sur les morphismes de groupes
• Théorème sur les morphismes de groupes et leurs noyaux
• Définition et générateur d'un groupe cyclique

Définition d'un groupe

$G$ est un groupe si et seulement si:

• Associativité : $\forall x,y,z \in G, (x*y)*z = x*(y*z)$
• Élément neutre : $\exists e \in G, \forall x \in G
• Inverse : $\forall x \in G, \exists x^{-1} \in G, x*x^{-1} = e$

Définition d'un sous-groupe

$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si:

• $H \subseteq G$
• $H$ est un groupe pour la même loi que $G$

Propriété caractéristique des sous-groupes

$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si:

• $H \subseteq G$
• $H \ne \emptyset$
• $\forall x,y \in H, x*y^{-1} \in H$

Propriété sur les intersections/unions de sous-groupes

• L'intersection de deux sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$.
• La réunion de deux sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si l'un des deux sous-groupes est inclus dans l'autre.

Démonstration réalisée.

Définition de l'ordre d'un groupe

L'ordre d'un groupe $G$ est le cardinal de l'ensemble $G$.

Théorème de Lagrange

Soit $(G,*)$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $|H|$ divise $|G|$.

Démonstration à revoir.

Sous-groupe engendré par un élément

Soit $G$ un groupe et $x \in G$. Le sous-groupe engendré par $x$ est le plus petit sous-groupe de $G$ qui contient $x$. Il est noté $\langle x \rangle$.

Définition d'un groupe monogène

Un groupe $G$ est dit monogène s'il existe un élément $x \in G$ tel que $G = \langle x \rangle$.

Propriété : Il s'agit du plus petit groupe contenant $g$.

Définition de l'ordre d'un élément

L'ordre d'un élément $x \in G$ est le cardinal du sous-groupe engendré par $x$, c'est-à-dire $o(x) = |\langle x \rangle|$.

Remarque : L'ordre d'un élément est 1 si et seulement si l'élément est l'élément neutre du groupe. L'ordre d'un élément est l'ordre de son inverse.

Définition d'un morphisme de groupes

Un morphisme de groupes est une application $\varphi : G \to H$ entre deux groupes $(G,*)$ et $(H,\cdot)$ telle que $\forall x,y \in G, \varphi(x*y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)$.

Propriétés sur les morphismes de groupes

Soit $\varphi : G \to H$ un morphisme de groupes.

• $\varphi$ injectif $\iff$ $\ker(\varphi) = \{ e_G \}$
• $\varphi$ surjectif $\iff$ $\mathrm{Im}(\varphi) = H$
• $\varphi$ bijectif $\iff$ $\varphi$ est un isomorphisme de groupes
• L'ordre d'un élément est conservé par un morphisme de groupes. $o(x) = o(\varphi(x))$.

Théorème sur les morphismes de groupes et leurs noyaux

L'ordre d'un élément $g \in G$ d'un groupe est infini si et seulement si le morphisme $\varphi_g : \Z \to G$ défini par $k \mapsto g^k$ est injectif, et en posant $o(g) = n \in \N^*$, on a $\ker(\varphi_g) = n\Z$.

Démonstration réalisée.

Définition et générateur d'un groupe cyclique

Un groupe $G$ est dit cyclique s'il est monogène et fini. Les générateurs d'un groupe cyclique sont les éléments d'ordre égal à l'ordre du groupe.